设An是1^2+2^2+3^2+…+n^2的个位数字，n=1，2，3…,求证0.A1A2A3A4…An…是有理数

1^2+2^2+……+60^2=60*(60+1)*(2*60+1)/6=61*121*10
即1^2+2^2+……+60^2个位是0
而61^2和1^2个位相同，
所以1^2+2^2+……+61^2和1^2个位相同
即A1=A61,A2=A62,……,A(n+60)=An
所以An每60个构成一个循环，（60不一定是最短的循环节，不过这无关紧要）
所以0.A1A2A3A4…An…是循环小数
所以是有理数

下面用a=b(mod10)表示用10除a余数为b, 当0≤b<10时也可说a的个位数为b.
经计算得
1^2=1(mod10),
1^2+2^2=5(mod10),
1^2+2^2+3^2=4(mod10),
1^2+2^2+3^2+4^2=0(mod10),
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=5(mod10),
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=1(mod10),
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2=0(mod10),
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2=4(mod10),
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2=5(mod10),
设Sn=1^2+2^2+3^2+…+n^2,当n=0，1,2,…,9时，Sn的个位数是
0,1,5,4,0,5,1,0,4,5,（1）
由
0^2=10^2=20^2=… (mod10)
1^2=11^2=21^2=… (mod10)
2^2=12^2=22^2=… (mod10)
3^2=13^2=23^2=… (mod10)
…
9^2+19^2=29^2=… (mod10)
可知S10=S9+10^2= S9+0^2,S11=S9+10^2+11^2=S9+0^2+1^2,同理，
S12=S9+0^2+1^2+2^2, S13=S9+0^2+1^2+2^2+3^2,…
即n=1